卷积码编码器与软判决解码技术详解
1. 灾难性编码器分析
在卷积码的研究中，编码器的特性至关重要，其中灾难性编码器是一个需要重点关注的概念。
1.1 G′₁ 编码器分析
假设存在矩阵 (G’_1)，我们来探讨其是否存在有限权重的右逆。设 (K = [a(D) b(D)]^T) 是 (G’_1) 的有限权重右逆，那么存在多项式 (p(D)) 和 (q(D)) 以及非负整数 (i) 和 (j)，使得 (a(D) = p(D)/D^i) 且 (b(D) = q(D)/D^j)。因为 (G’_1K = I_1)，所以 ((1 + D^3)a(D) + (1 + D + D^2 + D^3)b(D) = 1)，可转化为 (D^j(1 + D^3)p(D) + D^i(1 + D + D^2 + D^3)q(D) = D^{i + j})。但等式左边是一个能被 (1 + D) 整除的多项式，而右边不能，所以 (G’_1) 不存在有限权重的右逆。不过在之前的例子中，我们找到过 (G’_1) 的右逆，但它不是有限权重的。
1.2 G₁ 编码器分析
对于编码器 (G_1)，其两个子式分别为 (1 + D + D^2) 和 (1 + D^2)，它们的最大公约数为 1，这表明 (G_1) 是非灾难性的。而且 (G_1) 具有有限权重的右逆 (K =egin{bmatrix} D 1 + D end{bmatrix})，进一步证实了 (G_1) 的非灾难性。
1.3 (4, 2) 卷积码 (C_2) 编码器分析
在 (4, 2) 卷积码 (C_2) 中，有三个生成矩阵 (G_2)、(G’_2) 和 (G’‘_2)。对于 (